Симедианы

a) Так как прямые и - касательные к , они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, и . Отсюда следует, что точки и лежат на окружности с диаметром (назовём эту окружность ). На этой же окружности лежит точка , поскольку она лежит на окружности, проходящей через точки . Обозначим . Тогда по свойству угла между хордой и касательной получаем, что . Далее, (углы, вписанные в окружность ). Из того, что , следует, что .

Так как у треугольников и общая высота, проведённая из вершины , их площади относятся как основания, т.е. . Треугольники и подобны, поскольку , и коэффициент подобия равен . Но тогда

б) Поскольку острый, то (центральный угол вдвое больше вписанного), (вписанные в углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, биссектриса треугольника (также можно заметить, что , как вписанные и как угол между касательной и хордой соответственно). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, поэтому . Пусть ; тогда

Из дополнительного условия . Следовательно,

Площадь треугольника равна , откуда получаем , . По теореме косинусов из треугольника находим, что , откуда окончательно получаем .

Решён пункт а) – 4 балла;

частичные продвижения за пункт а):

доказано, что 𝑃𝐾 ‖ 𝐴𝐵 – 2 балла;

доказано, что четырёхугольник 𝐴𝑂𝐶𝑇 вписанный – 1 балл (не суммируется с вышеуказанными 2 баллами).

Решён пункт б) – 3 балла;

частичные продвижения за пункт б):

доказано, что 𝑃𝐾 – биссектриса треугольника 𝐴𝑃 𝐶 – 1 балл.