Симедианы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
высоты 
, 
и 
пересекаются в точке 
. Из точки 
провели перпендикуляры к
прямым 
и 
, которые пересекли лучи 
и 
в точках 
и 
соответственно. Докажите, что перпендикуляр,
опущенный из точки 
на прямую 
, проходит через середину отрезка 
.
Подсказка 1
Ага, в задаче нам предоставили прекрасные ортоцентр и ортотреугольник. А как связаны стороны исходного треугольника и стороны его ортотреугольника, что часто бывает полезно в рассуждениях в терминах глобальных конструкций?
Подсказка 2
Они антипараллельны! Перпендикуляр к стороне ортотреугольника должен оказаться медианой, тогда чем должна оказаться высота самого треугольника ABC для треугольника CPQ?
Подсказка 3
Конечно, симедианой! А вот Вам уже плотная подсказка: попробуйте доказать, что точка H удовлетворяет свойству, задающему ГМТ симедианы, так что симедиана пройдёт через Н
Подсказка 4
Это свойство связано с отношением от точки на симедиане до сторон угла. Чему оно должно быть равно!?
Заметим, что высоты к 
и 
симметричны относительно биссектрисы 
, поскольку 
и 
антипараллельны
относительно угла 
. Для получения требуемого результата достаточно показать, что 
является симедианой
.
Заметим, что 
(поскольку 
. Тогда 
(пользуемся вписанностью 
). Аналогично в силу симметрии обозначений 
. В итоге 
и
. Так как симедиана — это геометрическое место точек, расстояния от которых до сторон относятся так же, как и эти
стороны, то задача решена.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
