Симедианы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть точка 
лежит на стороне 
треугольника 
со сторонами 
Будем обозначать расстояние между некоторой точкой 
и некоторой прямой 
как 
Докажите, что эквивалентны следующие условия:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Эквивалентность (a), (b), (c), (d) выполнена не только в случае, если точка 
лежит на стороне 
но и когда она лежит
в целом внутри угла 
Подсказка 1
Давайте попробуем доказывать пункты последовательно, так как, скорее всего, один будет вытекать из другого. Сразу что-то сказать про точку S, так как мы пока не знаем свойств, тяжело. Поэтому давайте отталкиваться от связанной с S точки - середины BC - точки M. Что можно сказать про треугольники ABM и ACM? А что это даёт нам для отношения высот из точки M на стороны треугольника?
Подсказка 2
Верно, эти треугольники имеют равную площадь. Пусть AB=c, AC=b. Тогда высоты d_c и d_b (на AB и AC соответственно) из точки М на стороны треугольника связаны следующим соотношением: с*d_c=b*d_b => d_b/d_c=c/b. А что это нам даёт относительно точки S? Как нам связать отношение высот из М с отношением высот из S?
Подсказка 3
Пусть высоты из точки S - это d’_c и d’_b (на AB и AC соответственно). Так как у нас есть 2 пары подобных треугольников (так как AS и AM - изогонали), то отношение d’_b/d_c=AS/AM=d’_c/d_b. Значит, d’_c/d’_b=d_c/d_b=c/b. Доказали. Как нам теперь связать отношение высот из точки S на стороны с отношением площадей треугольников ABS и ACS?
Подсказка 4
Высоты треугольников ABS и ACS - это ровно d’_c и d’_b. При этом мы знаем, как они относятся, а также знаем стороны, на которые они опущены. Значит, мы знаем их отношение - S(ABS)/S(ACS)=с*d’_c/b*d’_b=c^2/b^2. Еще один пункт доказан! А чему ещё равно отношение площадей этих двух треугольников?
Подсказка 5
Так как эти два треугольника имеют общую высоту - их отношение есть отношение сторон, на которые эта высота падает. Значит, BS/SC=c^2/b^2. Осталось доказать пункт (d). Ого! Но мы же знаем отношение площадей треугольников ABS и ACS!
Подсказка 6
S(ABS)/S(ACS)=c^2/b^2. А площади их равны 1/2*d(B;AS)*AS и 1/2*d(A;AS)*AS =>S(ABS)/S(ACS)=d(B;AS)/d(A;AS)=c^2/b^2. Что и требовалось доказать!
.png)
Проведём к прямым 
и 
перпендикуляры 
и 
из середины 
отрезка 
и перпендикуляры 
и 
из точки 
Так
как площади треугольников 
и 
равны, то 
значит, 
Среди прямоугольных треугольников с вершиной 
есть две пары подобных: с катетами 
и 
а также с катетами 
и 
Отсюда следует, что
Откуда
и мы получили эквивалентность 
и 
Далее, треугольники 
и 
имеют общую высоту из вершины 
поэтому
Откуда сразу же получаем 
и 
Соотношения 
и 
эквивалентны, так как
Наконец, последнее соотношение эквивалентно пункту 
так как
В свою очередь
где 
— высота из 
на 
Замечание. Эквивалентность всех условий, кроме последнего, также выполнена для точки 
внутри угла 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
