Симедианы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона 
треугольника 
является хордой окружности, касающейся прямой 
в точке 
Вторая окружность проходит через
точки 
и касается прямой 
в точке 
Пусть 
— точка пересечения этих окружностей. Докажите, что 
— симедиана
треугольника 
Подсказка 1
Очень много окружностей, касательных к ним, а также различных хорд в условии. Наверное, стоит в первую очередь обратить внимание на них и как-то их использовать.
Подсказка 2
Воспользовавшись свойством касательной и хорды, мы узнаем, что углы BCD и ACD соответственно равны углам CAD и CBD. Подумайте над тем, равенство каких углов еще следует из этого. Что мы можем сказать про треугольники ADC и CDB?
Подсказка 3
Пусть CD пересекает AB в точке K. Угол ADK равен углу BDK, следовательно, DK - биссектриса угла ADB. Посмотрите внимательно, как можно использовать этот факт.
Подсказка 4
Воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника и подобием треугольников ADC и CDB для получения критерия симедианы (Примечание: критерий симедианы заключается в том, что симедиана делит сторону, на которую была опущена, в отношении равном квадрату отношения длин прилежащих сторон)
Так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой между ними, то для 
имеем
а для 
имеем 
.png)
По определению точка 
является точкой Болтая для треугольника 
Как известно, точка Болтая лежит на
симедиане.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Но на всякий случай вспомним, как это доказывалось: если продлить 
до пересечения с 
в точке 
то 
как
внешние углы, равные соответственно суммам двух попарно равных углов. По свойству биссектрисы 
а из подобия
треугольников 
и 
В итоге получили, что луч 
делит сторону 
в отношении
квадратов прилежащих сторон, а это критерий симедианы.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
