18.24 Графика. Области

В первом уравнении системы оба слагаемых левой части неотрицательны при всех значениях и Сумма этих слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, исходная система равносильна

В первом уравнении преобразованной системы имеем стандартную параболу во втором — линейную функцию Линейная и квадратичная функции имеют не более двух точек пересечения, а по условию нас просят найти при которых решений ровно два. Значит, нас интересуют значения при которых обе эти точки пересечения являются решениями системы.

Условие означает, что никакие точки вертикальной прямой не могут быть решениями системы.

Четвертое условие означает, что нас интересуют только положительные значения

Последнее условие задает область между вертикальными прямыми и (включая эти прямые, так как знаки нестрогие).

Таким образом, чтобы система имела ровно два решения, обе точки пересечения функций и должны лежать в области причем ни одна из них не должна принадлежать «запрещенной» вертикальной прямой Построим графики (на картинке область изображена при ):

Графики и пересекаются в точках и Ни одна из них не лежит на прямой

• При левая граница области обращается в и проходит через точку а правая граница области обращается в и проходит через точку то есть обе точки принадлежат области такие нам подходят.
• При всех область становится «уже» и точка оказывается левее прямой а точка — правее прямой то есть точки и не попадают в область такие нам не подходят.
• При всех обе точки и лежат внутри области

Таким образом, нам подходят