18.24 Графика. Области

1) Преобразуем неравенство системы:

 

 

 

 

Т.к. сумма квадратов всегда неотрицательна, то данная совокупность равносильна:

Т.к. равносильно или , то данная совокупность задает область, состоящую из части плоскости, находящейся не ниже прямой , из части плоскости, находящейся не выше прямой , а также из точки :
 

 

2) Преобразуем уравнение системы:

Данное уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом ; при задает точку ; при – пустое множество.

 

Т.к. точка не попадает в область, заданную неравенством, то при система точно не будет иметь решений.

 

3) Рассмотрим случай .
 

 

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев:

(1) Если окружность коснется границы области .
Пусть – точка касания (то есть ). Рассмотрим прямоугольный , где – точка пересечения прямой с осью абсцисс.

 

Т.к. угловой коэффициент прямой равен , то , следовательно, . Тогда

Т.к. и есть радиус окружности, то

(2) Если окружность проходит через точку .
Это значит, что расстояние между точками и равно радиусу окружности, следовательно,