Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Справа под корнем есть x² и другие слагаемые, а без корня только x². Хочется добавить недостающие слагаемые, чтобы можно было сделать замену и получить в обеих частях выражение вида t + √t. Для этого давайте вычтем из обеих частей 5x и добавим 2. Что хорошее тогда можно заметить?
Подсказка 2
Теперь мы получили слева и справа похожие выражение, по сути нам нужно решить неравенство f(g(x)) > f(h(x)). Из f(a) > f(b) в общем случае не следует сразу a > b, например, для f(t) = -t. или f(t) = sin t. Но что хорошего можно сказать про нашу рассматриваемую функцию f(t) = t + √t?
Подсказка 3
Она монотонно возрастает! То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции и наоборот.
Подсказка 4
Теперь нужно решить полученное неравенство на аргументы, причём учесть область определения исходного неравенства.
Первое решение.
После переноса корней налево получаем 
.
Обозначив 
и 
, получаем неравенство 
.
Так как 
, то остаётся решить 
, то есть 
. При возведении в квадрат учтём ОДЗ
(неотрицательность подкоренных) и получим двойное неравенство:
Первое неравенство равносильно
а второе
![5−-√17 5-+√17-
x∈ (− ∞; 2 ]∪ ( 2 ;+∞ ).](/api/latex-service/v1/GetSession/62911/index-bf92f89f4eba9aabff394f55e953839d.svg)
Теперь нужно пересечь полученные промежутки.
Заметим, что 
так как 
, потому что 
.
А вот 
, так как 
, потому что 
.
В итоге при пересечении получаем ![√ -5−√17
x∈ (2− 6;--2--]](/api/latex-service/v1/GetSession/62911/index-f5de9d944609a65d08e312ee2f416241.svg)
.
Второе решение.
Перепишем неравенство в виде
Заметим, что функция 
монотонно возрастает при 
. Поэтому неравенство 
равносильно неравенству 
. А оно в свою очередь эквивалентно системе (второе и третье условия задают ОДЗ
изначального неравенства):
Так же, как и в первом решении, получаем
![√--
x∈(2− √6;5−--17]
2](/api/latex-service/v1/GetSession/62911/index-13d993654ae3a4d45e2b6b315034922f.svg)
![(2 − √6;5−√17]
2](/api/latex-service/v1/GetSession/62912/index-fa85265687d416d0f4db2de13f6198fd.svg)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
