Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

После выделения полных квадратов, неравенство принимает вид

Делаем замену тогда получим

Рассмотрим функцию

Заметим, что функция возрастает при и убывает при при этом

Значит, при а нам подходит. При обратной замене получаем, что

Первое решение.

После переноса корней налево получаем .

Обозначив и , получаем неравенство .

Так как , то остаётся решить , то есть . При возведении в квадрат учтём ОДЗ (неотрицательность подкоренных) и получим двойное неравенство:

Первое неравенство равносильно

а второе

Теперь нужно пересечь полученные промежутки.

Заметим, что так как , потому что .

А вот , так как , потому что .

В итоге при пересечении получаем .

Второе решение.

Перепишем неравенство в виде

Заметим, что функция монотонно возрастает при . Поэтому неравенство равносильно неравенству . А оно в свою очередь эквивалентно системе (второе и третье условия задают ОДЗ изначального неравенства):

Так же, как и в первом решении, получаем

ОДЗ: Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

В первом случае

На данном промежутке слева возрастающая функция, а справа — убывающая. Равенство достигается при поэтому неравенство выполняется при

Во втором случае

При выражение справа отрицательное, а слева положительное, поэтому решений у неравенства нет.