Теория чисел на ОММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На окружности через равные промежутки отметили 144 точки и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных
точках назовем “чётной”, если на большей дуге, которую она стягивает, лежит чётное число точек. В противном случае хорда “нечётная”.
Рядом с каждой вершиной написано число. Сумма квадратов этих чисел равна 36. На каждой хорде написано произведение чисел, стоящих
на её концах. Сумма чисел на «чётных» хордах равна 
, сумма чисел на «нечётных» хордах равна 
. Найдите наибольшее возможное
значение величины 
.
Обозначим числа, стоящие рядом с точками на окружности, как: 
Оценка. Рассмотрим произвольную хорду 
Пусть на большей дуге, которую она стягивает, лежит 
точек. Тогда на
меньшей дуге лежит 
точек. Очевидно, что числа 
и 
одной чётности, поэтому мы можем
определять чётность хорды по любой из дуг, которую она стягивает. Между точками 
и 
лежит 
точка, откуда
мы можно сделать вывод о том, что хорда 
чётная, если числа 
и 
разной чётности, и нечётная в противном
случае.
Теперь рассмотрим следующее выражение:
Раскроем скобки: в сумме будут квадраты и попарные произведения всех слагаемых, при этом, перед слагаемым 
будет стоять
минус, если числа 
и 
разной чётности, и плюс в противном случае. Сумма квадратов всех слагаемых равна 36, сумма всех чисел 
где 
и 
разной чётности, это сумма чисел на чётных хордах (посчитанная дважды!), которая равна 
Аналогично, сумма всех чисел
где 
и 
одной четности, равна удвоенной сумме чисел на нечётных хордах, то есть равна 
Таким образом, данное выражение
равно:
Тогда
Итак, максимальное значение 
равно 18.
Пример. 
для всех 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
