Теория чисел на ОММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даша написала на доске числа 
, а потом стёрла одно или несколько из них. Оказалось, что оставшиеся на доске числа нельзя
разбить на несколько групп так, чтобы суммы чисел в группах были равны. Какое наибольшее значение может иметь сумма оставшихся на
доске чисел?
Источники:
Подсказка 1
Задача на оценку+пример, поэтому хочется оценить сверху сумму на доске после стирания одного или нескольких чисел. При этом непонятно, как пользоваться страшным условием о разбиении на группы с одинаковой суммой... Но на самом деле, задача проще, чем кажется: попробуйте сильно не думать и посмотреть на простые частные случаи.
Подсказка 2
Итак, Вы последовательно рассматриваете случаи, при которых сумма на доске может быть наибольшей (то есть по порядку убираете по одному маленькому числу), и пробуете для этих случаев строить разбиения на группы с равной суммой. Если на каком-то шаге у Вас не получается, возможно, Вы пришли к ответу на задачу, осталось только это доказать.
Подсказка 3
Подумайте, как при заданной сумме чисел на доске могут выглядеть наши группы, если они существуют? Сколько может быть групп и какой может быть сумма чисел в каждой из них?
Подсказка 4
Если Вы всё правильно сделали, примеры должны получиться для сумм от 208 до 204. Для суммы 203 нужно подумать над предыдущей подсказкой и понять, в чём же здесь противоречие!
Сумма чисел от 
до 
равна 
. Если стереть хотя бы одно число, то сумма оставшихся чисел не превосходит 
. Давайте
последовательно перебирать варианты:
1) Если сумма 
, то стереть Даша могла только число 
тогда оставшиеся числа можно разбить на две группы с суммой
:
2) Если сумма 
то стереть Даша могла только число 
тогда оставшиеся числа можно разбить на три группы с суммой
:
3) Если сумма 
то стереть Даша могла только число 
тогда оставшиеся числа можно разбить на две группы с суммой
:
4) Если сумма 
то стереть Даша могла только число 
тогда оставшиеся числа можно разбить на пять групп с суммой
:
5) Если сумма 
то стереть Даша могла только число 
тогда оставшиеся числа можно разбить на две группы с суммой
:
6) Если Даша стёрла число 
то на доске остались числа с суммой 
их можно было бы разбить или на 
групп с суммой 
,
или на 
групп с суммой 
, или на 
группы с суммой 
в какую-то группу попадёт число 
поскольку вариантов с суммой 
у
нас нет, то в эту группу попадёт ещё хотя бы одно число: поэтому сумма в этой группе будет хотя бы 
значит, в этом случае разбить
числа на группы с одинаковой суммой не получится.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
