Теория чисел на ОММО

Так как не делится на 10, то последняя цифры — не Пусть где — цифры.

Из условия следует уравнение

Первое решение.

Так как оканчивается на 0, а сами эти цифры нулю равняться не могут, то Тогда оканчивается на 10, поэтому Получаем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Запишем слагаемые левой части по определению десятичной записи

Приводим подобные слагаемые

Так как делится на то на тоже делится. Тогда и

Заметим, что тогда и, так как и — взаимно простые, то делится на 10. Но и — цифры, и их сумма не больше , и при этом больше так как по условию Единственное кратное число в этом промежутке — поэтому

Пусть Вернемся к нашему равенству, и подставим в него и

Сокращаем на 10

Справа число, делящееся на Так как то Так как то

Так как, и — цифры, то их сумма хотя бы и не больше а единственное число с остатком при делении на в этом промежутке — это Тогда

Теперь найдем