Комбинаторика на ОММО: графы, турниры, логика, Дирихле
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В футбольном турнире играли восемь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды,
набравшие пятнадцать и более очков. За победу даётся 
очка, за ничью — 
очко, за поражение — 
очков. Какое наибольшее
количество команд может выйти в следующий круг?
Источники:
Подсказка 1!
Так, посмотрим, мы хотим посчитать количество команд, получивших хотя бы 15 очков. Но ведь количество очков, разыгрваемое в турнире, ограничено! Сколько баллов у нас за игру получают в сумме обе команды?
Подсказка 2!
Ага, таким образом за каждую игру в сумме разыграли не более 3 баллов. То есть мы можем посчитать, сколько всего очков максимально было разыграно за турнир! И посмотрим, сколько команд "пятнидцатибальников" максимально вместится в наше соревнование...
Подсказка 3!
Не забудем доказать, что столько найдется! Осталось аккуратно построить пример :)
Всего игр было 
, так что разыграно не более 
очков. Отсюда команд, которые набрали хотя бы 
баллов, не больше
пяти.
Покажем, что такие пять команд найдутся. Пусть каждая из них выиграла у оставшихся трёх, то есть каждой остаётся набрать 
очков до 
или выиграть ещё два раза. Расположим эти 
команд по кругу. Пусть каждая выиграет у следующей по
кругу и идущей через одну, то есть, например, 
у 
и 
или 
у 
и 
. Это эквивалентно построению всех рёбер
полученного пятиугольника, а также всех диагоналей, поскольку 
, то их как раз 
и каждую мы построим по одному
разу.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
