Планиметрия на ОММО

Первое решение.

Пусть точки касания с и будут и соответственно. Из равенства отрезков касательных и , а также

Как известно, , как биссектрисы углов трапеции, но тогда — высота прямоугольного треугольника и равна . Аналогично из прямоугольного имеем . Откуда легко посчитать, что .

Второе решение.

Пусть — точка касания окружности и стороны Так как и — отрезки касательных, то они равны. Значит,

Пусть — точка касания окружности и стороны Аналогично

Пусть — точка касания окружности и стороны Проведем диаметр и опустим высоту на сторону

(как отрезки касательных), следовательно, и Тогда по теореме Пифагора

Опустим из точки перпендикуляр на сторону он будет равен Обозначим за отрезок тогда По теореме Пифагора

Тогда