Планиметрия на ОММО

Первое решение.

Не умаляя общности, пусть окружность , вписанная в , касается стороны . Пусть - точка пересечения высот треугольника - точка касания и точка касания и

Известно, что высоты являются биссектрисами его ортотреугольника. При гомотетии с центром в точке и коэффициентом ортотреугольник переходит в так что биссектрисы тоже пересекаются в точке

По свойству ортоцентра и симметричны относительно прямой , так что Кроме того, (), поэтому прямоугольные треугольники и равны по катету () и острому углу. Поэтому

В итоге получили Тогда , откуда с учётом условия и следует ответ.

Второе решение.

Пусть высоты пересекаются в точке . Заметим, что

Отсюда следует, что лежит на биссектрисе угла . Делая то же самое для остальных углов, имеем, что — центр вписанной окружности

Обозначим радиус этой окружности за и, не умаляя общности, (касание из условия). Нетрудно видеть, что является высотой треугольника . Поскольку мы уже знаем, что ( — также биссектриса ), то (получили высоту и биссектрису ). Пусть также точка касания вписанной окружности. Тогда в прямоугольном катет равен половине гипотенузы и . Поскольку мы знаем, что какой-то другой угол равен , то третий будет