Тема . ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Тригонометрия на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104696

Решите уравнение

                 9
(sinx +1)(cosx+ 1) =8
Показать ответ и решение

Первое решение.

Если x= π+ 2πn,n ∈ℤ,  то                       9
(sinx+ 1)(cosx+ 1)= 1⋅0⁄= 8,  поэтому можно сделать универсальную тригонометрическую подстановку и получить при      x
t= tg 2  уравнение

(  2t    ) (1− t2   )  9
 1+-t2 + 1 1+-t2 + 1 = 8

     2
2(t+-1)22-= 9
(1+ t)   8

t+-1-= ±3
1+ t2    4

            2
4t+ 4= ±(3+ 3t )

[
  3t2− 4t− 1= 0
  3t2+4t+ 7= 0

       ∘-----
3t= 2±  22+ 3

        2± √7
x= 2arctg--3-- +2πn,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки

sinx +cosx+ sinxcosx = 1
                    8

Так как

                   2
sinxcosx= (sinx+-cosx)-−-1,
               2

то

sinx +cosx+ (sinx+-cosx)2− 1-− 1= 0
                 2         8

Сделаем замену t= sinx+ cosx :

   t2−-1- 1
t+  2  − 8 =0

Откуда

⌊    1
|| t= 2
⌈     5
  t= −2

Так как sin x+ cosx≥ −2,  то при      5
t =− 2  равенство не выполняется, следовательно,

sinx+ cosx= 1
          2

Представим левую часть в виде синуса суммы:

sin(x+ π)= -1√-
       4   2 2

Откуда

⌊    π       √2
|| x+ 4 = arcsin 4-+2πk
|⌈    π          √2       ,k ∈ℤ
  x+ 4 = π− arcsin 4-+ 2πk

⌊        √ -
| x= arcsin--2− π +2πk
||         4   4√-       ,k ∈ℤ
⌈ x= 3π− arcsin -2+ 2πk
     4        4
Ответ:

 2arctg 2±√7 +2πn,n∈ ℤ
       3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!