Тригонометрия на ОММО
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислите
Подсказка 1
Складывать удвоенный арктангенс и арксинус? Ну нет, мы так не умеем. Зато мы умеем, например, с помощью формулы тангенса суммы складывать арктангенсы. Тогда давайте подумаем, как выразить арктангенс через арксинус?
Подсказка 2
Вспомним, что мы хорошо умеем связывать тангенс в квадрате и косинус в квадрате. А из этого соотношения и тангенс в квадрате и синус в квадрате. Значит, имея арксинус, мы умеем считать тангенс. А из него и арктангенс.
Подсказка 3
Пусть arcsin(4/5)=α. Тогда sin(α)=4/5. С помощью этой информации найдём tg(α) и arctg(α).
Подсказка 4
Теперь осталось подумать, как нам посчитать сумму двух арктангенсов? Давайте попробуем для начала найти тангенс исходного выражения
Подсказка 5
Если arctg(2)=β, то tg(β)=2, и тангенс исходного выражения можно переписать как tg(2β+α), что мы умеем представлять в терминах tg(α) и tg(β), а их мы знаем из условия задачи!
Подсказка 6
Вспомним формулы тангенса суммы и тангенса двойного угла. По очереди применим их. Например, можем отдельно посчитать тангенс двойного угла, а потом раскрыть тангенс суммы и туда подставить все известные нам значения.
Первое решение.
Обозначим 
через 
через 
. Заметим, что 
, a 
, откуда 
;
также 
.
Находим:
Наконец, поскольку 
, то 
. Значит, 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Отметим на координатной плоскости точки 
, 
. Поскольку угловой коэффициент прямой 
равняется 
, а угловой коэффициент прямой 
равняется 
, получаем, что 
.
В треугольнике 
; значит, 
. В треугольнике 
;
значит, 
. В треугольнике 
, 
; значит, 
.
Таким образом,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
