Параметры на ОММО

Обозначим через . Заметим, что количество решений уравнения от такой замены не меняется. Тогда исходное уравнение приобретёт вид

Заметим, что выражения в обеих частях не меняются при замене на , поэтому нечётное число решений (в частности, ровно одно решение), это уравнение может иметь только если является его корнем:

т.е. , откуда или . Итак, кроме этих двух чисел, никакие другие значения параметра не могут удовлетворять условию.

Пусть . Тогда уравнение примет вид . Заметим, что при (что можно доказать, например, взяв производные обеих частей и учтя значение в нуле). Тогда при получаем . Итак, при уравнение имеет единственное решение.

Пусть . Тогда уравнение примет вид . Заметим, что , но , , т.е. при левая часть меньше правой, а при наоборот. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, уравнение имеет ещё хотя бы корень на интервале . Следовательно, не удовлетворяет условию.