Стереометрия на ОММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Гора имеет форму прямого кругового конуса с вершиной в точке 
. Точка 
— центр основания, точка 
лежит на окружности
основания конуса, а точка 
— на отрезке 
, причем 
. Железная дорога проложена по кратчайшему пути
вокруг горы из точки 
в точку 
. Точка 
— ближайшая к вершине горы из всех точек железной дороги. Найдите длину пути 
(по железной дороге).
Источники:
Подсказка 1
В условии сказано про кратчайший путь, но не сразу понятно, как изобразить его на конусе. Что хочется сделать, чтобы всё-таки нарисовать этот путь на рисунке?
Подсказка 2
Да! Рассмотрим развёртку боковой поверхности конуса. Как тогда будет выглядеть кратчайший путь?
Подсказка 3
Верно! Считается известным, что самый короткий путь от точки до прямой — это перпендикуляр, опущенный на эту прямую и проходящий через данную точку. Поэтому СH — высота треугольника ACB. Теперь нужно аккуратно посчитать.
Подсказка 4
В треугольнике ABC известны две стороны, а угол опирается на дугу окружности радиуса CA, длину которой мы можем найти. Чему тогда равен этот угол? Какую теорему теперь можно применить?
Подсказка 5
Длина окружности основания равна 2πOA. Тогда ∠ACB = 2πOA/CA = 60π/180 = π/3 = 60°. Теперь применим теорему косинусов для треугольника ABC и найдем AB. Теперь можем применить теорему синусов. Синус какого угла хочется выразить?
Подсказка 6
Да! Запишем теорему синусов для ∠B и ∠C и найдём sin∠B. Осталось не забыть, что треугольник CBH — прямоугольный. Значит, зная угол и сторону, можно найти и всё остальное!
Кратчайшим путём вокруг горы на развёртке конуса будет отрезок 
. Точка 
— ближайшая к вершине 
, а значит 
— высота в
треугольнике 
. Длина окружности основания равна 
. 
, поэтому
Итак, в треугольнике 
известны длины сторон 
и 
, а надо найти 
. По теореме
косинусов
По теореме синусов
откуда
Наконец, треугольник 
прямоугольный и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
