Стереометрия на ОММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Единичный куб 
повёрнут на 
вокруг прямой, проходящей через середины противоположных рёбер 
и 
.
Найдите объём общей части исходного куба и повёрнутого.
Источники:
Подсказка 1
Итак, для начала надо внимательно разобраться с получающейся фигурой. Удобно начать построение с поворота рёбер AD и B₁C₁. Похожа ли общая часть кубов на какую-то известную нам фигуру? Если нет, то подумайте как можно её разбить на составляющие.
Подсказка 2
Работать с такого типа фигурой можно через сумму объёмов составляющих её частей. Или же через разность: вычитая удобные части из фигуры, содержащей искомую. Рассмотрим способ через сумму — наш многогранник удачно разбивается на параллелепипед и две правильные четырёхугольные пирамиды.
Подсказка 3
Найти все нужные длины нам поможет Пифагор: рассмотрите одну из граней исходного куба и возвышающуюся над ней часть нового куба. Аккуратный счёт поможет вам узнать, где пересекутся рёбра нового и исходного кубов.
Подсказка 4
Также, с помощью Пифагора мы сможем отыскать и все рёбра искомого многогранника. Осталось лишь отыскать объёмы всех составных частей и сложить их. Задача убита!
Пусть 
и 
— середины 
и 
, а куб после поворота переходит в 
. Общая часть будет объединением
прямоугольного параллелепипеда 
и двух симметричных правильных четырёхугольных пирамид 
и
, найдём их объёмы.
Сторона основания пирамиды равна стороне квадрата, то есть единице. Далее оба квадрата симметричны относительно 
,
потому 
. Из 
имеем 
— боковая сторона пирамиды. Отсюда легко найти её
высоту, которая равна 
, тогда объём пирамиды равен 
.
Поскольку 
(
, которая по доказанному образует углы 
со сторонами), то 
,
, как стороны квадрата, отсюда объём параллелепипеда 
.
В итоге объём сечения 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
