Стереометрия на ОММО

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед сечениями, равна сумме площади поверхности параллелепипеда и площадей внутренних поверхностей. Сумма площадей внутренних поверхностей равна удвоенной сумме площадей сечений.

Найдем наибольшую возможную площадь сечения, проходящего через диагональ произвольного параллелепипеда с ребрами . Сечением является параллелограмм , вершины которого лежат на противоположных рёбрах параллелепипеда. Площадь параллелограмма равна произведению длины диагонали на расстояние от точки до .

Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали . На рисунке видно, что расстояние от точки ломаной до точки , то есть до диагонали , наибольшее, если совпадает с одной из вершин или .

Значит, сечение проходит через одно из ребер параллелепипеда. Таким образом, наибольшую площадь имеет одно из диагональных сечений. Все эти сечения являются прямоугольниками. Найдем наибольшую из их площадей

Из условия следует, что, , и . Поэтому и . Значит, наибольшую площадь имеет сечение, проходящее через наибольшее ребро. По условию наибольшую длину имеет ребро , значит, наибольшую площадь имеют сечения и .

Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед этими сечениями (см. рисунок), равна