Уравнения и системы на ОММО

Первое решение.

Заметим, что в левых частях первых двух уравнений — суммы квадратов. Так можно записать квадраты длин векторов

Согласно условию, . Заметим, что скалярное произведение векторов и равно

что совпадает с , а значит, вектора коллинеарны, причём . Поэтому

Подставим эти значения в третье уравнение (выбор знака перед каждым слагаемым независим):

Равенство возможно только в двух случаях: или .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Умножим на 4 и 9 первое и второе равенство в системе соответственно и сложим их:

По неравенству о средних получаем, что

Тогда

Следовательно, равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждом из неравенств выполняется равенство, то есть

Откуда получаем

Подставим полученные значения в третье уравнение:

Чтобы избавиться от иррациональности слева необходимо чтобы и были одного знака, а равенство превращается в тождество при Таким образом, получаем 2 решения: и