Тема . ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Уравнения и системы на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63741

Решите систему уравнений

{ x10+ x10+ ...+ x10=310 x133+ x233+ ...+ x9323=333 1 2 92

Источники: ОММО-2023, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что

( x1)10 (x2)10 ( x92)10 3 + 3 +...+ 3 = 1

Тогда для каждого $1≤k ≤92$ имеем $|xk| |3-|≤1,$ откуда

|x |33 |x |10 ||k3|| ≤ ||k3||

Окончательно получим

|( ) ( ) ( ) | 1= ||| x1 33+ x2 33+ ...+ x92-33|||≤ 3 3 3

≤ |||x1|||33+ |||x2|||33+ ...+|||x92|||33 ≤ 3 3 3

| | | | | | ≤ ||x1||10+ ||x2||10+ ...+||x92||10 = 3 3 3

= (x1)10+ (x2)10+ ...+ (x92)10 =1. 3 3 3

Значит, для каждого $k$ выполнено

||xk||33 ||xk||10 |3| = |3|

откуда

xk ∈ {−3,0,3}

Отсюда несложно получаем, что тогда один из $x k$ равен $3,$ а все остальные равны $0.$

Ответ: одна из переменных равна 3, все остальные равны 0

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse