Тема . ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Уравнения и системы на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90592

Решите систему

(| x+ y+z =13 { x2+y2+ z2 = 61 |( xy+xz =2yz.

Показать ответ и решение

Распишем $(x+ y+ z)2$ двумя разными способами. С одной стороны из первого уравнения системы получаем, что

2 (x+y +z) = 169

С другой стороны,

2 2 2 2 (x+ y+z) = x +y + z + 2(xy+ xz+ yz)

Подставляя второе и третье уравнение из системы, получаем, что

(x+ y+z)2 = 61+2(2yz+yz)= 61+6yz

Тогда

61+ 6yz =169 =⇒ yz =18

Выразим $y+ z$ из первого уравнения и подставим в третье:

{ [ y+ z = 13 − x =⇒ x2− 13x+ 36= 0 =⇒ x =4 x(13− x)= 2yz =36 x =9

(a) $x= 4:$

{ { y+z =9 =⇒ z = 9− y =⇒ y2− 9y+ 18= 0 y2 +z2 = 45 y2+(9− y)2 =45

Тогда получаем

[ y = 3 =⇒ z = 6 y = 6 =⇒ z = 3

(b) $x= 9:$

{ y+ z = 4 { z = 4− y y2+ z2 =45 =⇒ y2+ (4 − y)2 = −20 =⇒ y2− 4y+ 18 =0

Тогда получаем, что нет решений, так как у последнего уравнения $D < 0.$

Ответ:

$(4;3;6), (4;6;3)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse