Прямая Эйлера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая Эйлера треугольника 
пересекает прямые 
и 
в точках 
и 
так, что 
Найдите угол
Подсказка 1
Как нам воспользоваться тем фактом, что это прямая Эйлера? Как ее зафиксировать, чтобы было понятно, что это она?
Подсказка 2
Верно, отметить на этой прямой точки О и Н - центр описанной окружности и ортоцентр. Какие теперь равные углы можно отметить, кроме тех что есть из условия?
Подсказка 3
Верно, можно отметить равные углы PAH и QAO. Но из того, что равны углы APQ и AQP, следует, что равны углы AOH и AHO, а значит равны AO и AH. А чему равен отрезок АН?
Подсказка 4
Верно, отрезок АН равен 2 отрезкам от точки О до середины BC, но такой отрезок равен R*cos(A), из прямоугольного треугольника. А при этом, AO=R. Чему тогда равен угол А?
Из условия следует равенство 
Отметим на прямой Эйлера точки 
и 
По свойству ортоцентра 
Но
тогда
Таким образом, 
— равнобедренный, откуда 
Теперь обозначим угол 
за 
угол 
— 
— радиус описанной окружности 
и немного посчитаем:
по теореме синусов, 
где 
— основание высоты из 
Равенство 
превратилось в 
откуда 
то есть 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
Попробуйте также проверить факт и в обратную сторону: у треугольника с углом в 60 градусов прямая Эйлера отсекает от него равносторонний треугольник.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
