Прямая Эйлера

Пусть и — центры описанной и вписанной окружностей треугольника — ортоцентр треугольника Проведем в треугольнике высоты и По свойству ортоцентра — инцентр треугольника

Стороны исходного треугольника являются касательными к окружности в соответствующих точках. Каждый отрезок, соединяющий основания высот параллелен соответствующей касательной, проведённой к описанной окружности в соответствующей вершине треугольника (эту несложную лемму можно использовать в данной задаче без доказательства). В итоге стороны треугольников и параллельны.

Значит, существует гомотетия, переводящая треугольник в При этой гомотетии точка переходит в точку центр описанной окружности а точка — в точку

Пусть центр гомотетии — некоторая точка тогда тройки точек центр описанной окружности и коллинеарны.

А ведь центр описанной окружности — центр окружности Эйлера для Значит, он лежит на его прямой Эйлера Но тогда и лежит на этой прямой.