Прямая Эйлера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
высоты пересекаются в точке 
, а медианы в точке 
. Биссектриса угла 
проходит через середину отрезка 
. Найти площадь треугольника 
, если 
, а разность углов 
и 
равна
.
Источники:
Подсказка 1
На рисунке есть отрезок, соединяющий ортоцентр с точкой пересечения медиан, а также деление такого отрезка на 2. На какой сюжет это намекает?
Подсказка 2
Отметим точку O — центр описанной окружности ABC. Что можно провести, чтобы использовать деление отрезка MH пополам? Чем является HM?
Подсказка 3
HM — прямая Эйлера, значит O лежит на ней! А что если опустить перпендикуляр из O на BC?
Подсказка 4
Треугольники AHT и LOT подобны, аналогично подобны и треугольники AHM и KOM. Теперь мы можем записать равенства, следующие из подобия. Но как использовать условие на разницу величин углов? К тому же, нам нужно найти площадь, то есть стороны или углы.
Подсказка 5
В этом нам может помочь теорема синусов! С помощью нее мы можем выразить AB и AC через некоторый угол ;)
Пусть 
— центр описанной около 
окружности. Проведём серединный перпендикуляр 
к стороне 
. Как известно,
биссектриса угла 
и продолжение 
пересекаются на описанной окружности треугольника 
пусть в точке 
. А также знаем,
что точки 
лежат на одной прямой и 
(Прямая Эйлера). В силу того, что 
, получаем
, где 
— точка пересечение биссектрисы угла 
и 
.png)
по двум углам 
по двум углам 
Следовательно, если 
, то
Если 
то
По теореме синусов в треугольнике 
Откуда
Тогда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
