Прямая Эйлера

Докажем следующее утверждение:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В любом треугольнике точка пересечения высот (ортоцентр), центр описанной окружности и точка пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка расположена между точками и и

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть — середина стороны треугольника — точка пересечения прямых и Воспользуемся известным фактом:

Из подобия треугольников и следует, что

Следовательно, — точка пересечения медиан треугольника т.е. совпадает с и

Пусть точка симметрична относительно Тогда — центр описанной окружности треугольника

С другой стороны, так как — параллелограмм, то то есть — ортоцентр треугольника (см. рис.). Следовательно, медиана делит в отношении