Прямая Эйлера

Первое решение.

Пусть и — середины отрезков и и — высоты.

Прямоугольные треугольники и имеют общий острый угол при вершине поэтому Так как треугольник равнобедренный, Следовательно, т. е. точка лежит на биссектрисе угла Аналогично точка лежит на биссектрисе угла

Пусть, и — середины сторон и

Так как то Аналогично т. е. Следовательно, параллельные прямые и и образуют не просто параллелограмм, а ромб. Поэтому его диагональ является биссектрисой угла при вершине

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В силу однозначного определения точек и пусть прямая Эйлера пересекает и в точках и соответственно, докажем, что это точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам и с и

Т.к. то и Пусть — середина тогда из прямоугольного треугольника получаем По свойству ортоцентра следовательно,

Из равнобедренного треугольника получаем значит, А учитывая, что по свойству ортоцентра то треугольники и равны по стороне и двух углам. Следовательно, и треугольник — равносторонний.

Раз треугольник — равносторонний, то По свойству ортоцентра Тогда получаем, что Следовательно, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к Аналогично доказываем для