Тема КОМБИНАТОРИКА

Текстовые задачи на конструктивы в комбе → .01 Много-мало

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела комбинаторика

Разделы подтемы Текстовые задачи на конструктивы в комбе

Много-мало

Процессы и алгоритмы

Переливания

Переправы

Шаг за шагом

Взвешивания и количество информации

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33188

Расставьте в таблицу $3× 4$ четыре нуля, четыре единицы и четыре двойки так, чтобы суммы во всех строках были равны.

Показать ответ и решение

Отметим сразу, что в этой задаче, конечно, достаточно лишь привести пример. Но мы все-таки объясним еще, как такие примеры быстрее придумывать.

Сначала посчитаем, чему должна получиться равной сумма чисел в одной строке. Сумма всех расставляемых чисел равна $0⋅4+ 1⋅4+ 2⋅4= 12$ , значит, в одной строке сумма равна $12 :3= 4$ . Поэтому поставим в первую и вторую строки по две двойки и два нуля, а в третью — четыре единицы.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33189

В кабинете профессора Трелони стоят $5$ гадальных шаров. Между любыми двумя шарами идет линия судьбы, которая бывает $4$ различных цветов. Может ли оказаться, что линии судьбы, отходящие от каждого шара, были разных цветов?

Показать ответ и решение

Предположим, что указанная в условии конструкция возможна. Заметим, что линий судьбы одного цвета не больше двух: если бы линий судьбы какого-то цвета было хотя бы $3$ , то у них было бы $6$ концов, а так как шаров всего $5$ , то какие-то два конца шли из одного шара, и для этого шара условие бы не выполнялось. Тогда всего линий судьбы не больше $2⋅4= 8$ . С другой стороны, $5$ гадальных шаров соединяют $10$ линий, а значит, какие-то три все-таки должны быть одного цвета.

Ответ: Нет, не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33190

В кабинете профессора Трелони стоят $6$ гадальных шаров. Между любыми двумя шарами идет линия судьбы, которая бывает $5$ различных цветов. Может ли оказаться, что линии судьбы, отходящие от каждого шара, были разных цветов?

Показать ответ и решение

Пронумеруем шары числами $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ и $6$ . Пусть красные линии будут между шарами $1− 2$ , $3− 4$ , $5− 6$ , синие — между шарами $2− 3$ , $4− 5$ и $1− 6$ , зеленые — между $2 − 5$ , $1− 3$ и $4− 6$ , желтые — между $1− 4$ , $2− 6$ , $3 − 5$ , и, наконец, белые — между шарами $3− 6$ , $1− 5$ , $2 − 4$ . Нетрудно убедиться, что условие в таком случае выполняется.

Ответ: Да, может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#78165

В пяти пакетах лежит $21$ конфета, причём в разных пакетах количества конфет попарно различны. Известно, что конфеты из любых двух пакетов можно разложить в три оставшихся пакета так, что в этих трех пакетах конфет станет поровну. Докажите, что имеется пакет, в котором лежит ровно $7$ конфет.

Источники: Лига открытий - 2018

Показать доказательство

Если в каждом пакете меньше $7$ конфет, то всего конфет не больше, чем $6+ 5+ 4+3 +2 =20< 21,$ противоречие. Если же в некотором пакете больше $7$ конфет, то, перекладывая конфеты из любых двух других пакетов, не удастся получить три пакета по $7$ конфет в каждом, снова противоречие.

Следующая подтема