Процессы и алгоритмы

(a) Покажем, что каждая компонента связности графа является простым циклом. Тогда разбиение на компоненты связности будет искомым.

Рассмотрим некоторую компоненту связности. Пусть изначально все её вершины и рёбра чёрные. Запустим процесс покраски вершин и рёбер. Рассмотрим произвольную вершину и пометим её красным цветом. Её степень равна 2. Пройдем из неё по какому-нибудь ребру, пометив это ребро красным. Таким образом, каждый раз будем отмечать красным вершины и рёбра, которые мы посетили. Ходить по красным рёбрам запретим. Тогда заметим, что, когда мы вошли в вершину впервые, одно её ребро уже красное, а второе ещё нет. Значит, можно будет продолжить обход. Второй раз войти в какую-то вершину кроме первой, мы не сможем, потому что оба ребра уже будут красными.

Поскольку граф конечен, когда-то мы вернёмся в вершину, в которой уже были. Это обязательно вершина поскольку у остальных вершин оба ребра уже красные. Получился простой цикл. Покажем, что он содержит все вершины графа. Предположим, что есть вершина которая осталась чёрной. Тогда оба её ребра также чёрные, поскольку иначе посетили вершина была бы красной. Рассмотрим первую красную вершину на пути от до (он существует, поскольку граф связен). Пусть мы пришли в из вершины Она чёрная, так что оба её ребра также чёрные. Значит, из вершины выходит как минимум чёрное ребро в а также 2 красных ребра цикла, что противоречит условию. Значит, мы посетили все вершины, что и требовалось доказать.

(b) Аналогично пункту (a) будем считать граф связным и запустим покраску. Если есть вершина степени 0, то весь граф состоит только из неё. сама по себе образует цепочку. Если в графе нет вершин степени 1, то по пункту (a) мы найдём простой цикл. Если же есть вершина степени 1, то начнём покраску из неё. Граф конечен, поэтому процесс остановится, причём вернуться в уже посещенную вершину нельзя. Значит, мы закончим в другой вершине степени 1. Тогда получилась цепочка. Аналогично циклу, мы обошли весь граф.