Много-мало

Отметим сразу, что в этой задаче, конечно, достаточно лишь привести пример. Но мы все-таки объясним еще, как такие примеры быстрее придумывать.

Сначала посчитаем, чему должна получиться равной сумма чисел в одной строке. Сумма всех расставляемых чисел равна , значит, в одной строке сумма равна . Поэтому поставим в первую и вторую строки по две двойки и два нуля, а в третью — четыре единицы.

Предположим, что указанная в условии конструкция возможна. Заметим, что линий судьбы одного цвета не больше двух: если бы линий судьбы какого-то цвета было хотя бы , то у них было бы концов, а так как шаров всего , то какие-то два конца шли из одного шара, и для этого шара условие бы не выполнялось. Тогда всего линий судьбы не больше . С другой стороны, гадальных шаров соединяют линий, а значит, какие-то три все-таки должны быть одного цвета.

Пронумеруем шары числами , , , , и . Пусть красные линии будут между шарами , , , синие — между шарами , и , зеленые — между , и , желтые — между , , , и, наконец, белые — между шарами , , . Нетрудно убедиться, что условие в таком случае выполняется.

Рассмотрим число . В своей паре оно точно будет больше нечетного числа, так как оно вообще самое большое среди данных двадцати чисел. Значит, как минимум в этой паре условие не будет выполняться, поэтому указанного разбиения не существует.

Примером служит следующее разбиение: , , , , , , , , , .

Рассмотрим самого высокого из ребят (если таких ребят несколько, выберем любого). Он не может быть слизеринцем, ведь тогда в своей паре этот юный волшебник не может быть ниже гриффиндорца. Значит, самый высокий волшебник — гриффиндорец. Тогда во второй день он не может оказаться ниже никакого из слизеринцев, поэтому во второй день хотя бы в одной паре условие “слизеринец выше гриффиндорца” не будет выполняться.

Пусть рост ребят — числа от до , причем у всех гриффиндорцев четный рост (т. е. , , …, ), а у слизеринцев — нечетный. В первый день поставим их в пары , , …, . Во второй — в пары , , , , …, . Тогда во второй день единственная пара, в которой гриффиндорец выше слизеринца: пара .

Комментарий. Пример точно такой же, как в одной из предыдущих задач, хотя, конечно, есть и другие. Здесь вас не должно смущать, что рост явно нереальный: никто не говорит, что пример должен подходить под какие-то “жизненные” условия, не описанные в задаче. Но, если есть желание, нетрудно сделать его более “реальным”: достаточно взять числа от до .

Примером служат единиц. Их произведение равно , а сумма равна , что как раз в раз больше.

Комментарий. Здесь важно не начать придумывать страшные примеры, где все числа будут разными, ведь в условии не сказано, что числа должны быть различны. Более того, примера, в котором все числа были бы различны, не существует, но доказать это мы сможем лишь спустя некоторое время. А вот примеров, в которых есть одинаковые числа, очень много.

Один из возможных примеров следующий. Пусть Гарри отдаст кондуктору сиклей за троих сразу. Рон возвращает Гарри сиклей, тем самым Гарри заплатил сиклей, и про него можно забыть. Остались Рон и Гермиона. Рон сейчас заплатил сиклей, а Гермиона — ничего. Поэтому Гермиона отдает Рону сиклей, а тот возвращает ей сиклей. В результате у каждого из трех друзей стало на сиклей меньше, и ровно сиклей получил кондуктор Стэн.

Приведем один из возможных примеров. Рассмотрим три предмета: трансфигурацию, зельеварение и чары. Пусть по трансфигурации у Гарри превосходно, у Рона выше ожидаемого, у Невилла удовлетворительно. По зельеварению у Рона превосходно, у Невилла выше ожидаемого, у Гарри удовлетворительно. Наконец, по чарам у Невилла превосходно, у Гарри выше ожидаемого, у Рона удовлетворительно. Тогда по этим трем предметам в двух оценка Гарри выше оценки Рона, в двух оценка Рона выше оценки Невилла, и в двух оценка Невилла выше оценки Гарри.

Возьмем еще две тройки предметов, в которых отметки будут распределяться точно также. Тогда по этим предметам в оценки Гарри будут выше оценок Рона, точно также в предметах оценки Рона будут выше оценок Невилла, и в предметах оценки Невилла будут выше оценок Гарри. Поэтому, распределив оценки по десятому предмету как угодно, мы получим пример, подходящий под условие.

Замечание. Обратите внимание, во-первых, на само разбиение предметов на тройки (проще строить пример сначала для меньшего числа предметов). Во-вторых, в тройках предметов мы сдвигаем оценки ребят по циклу, что делает пример более прозрачным. Мы не строим пример “наобум”, мы четко представляем, за счет чего вообще такой пример может существовать.

Покажем, как Дамблдору добиться желаемого за три месяца. Пусть каждый месяц он увеличивает свою зарплату в раз. Зарплаты остальных профессоров он меняет так. Зарплату каждого отдельного профессора он два раз увеличивает в раза, а один раз уменьшает в раз. При этом сначала он уменьшает зарплату МакГонагалл (а остальные увеличивает), затем — уменьшает зарплату Флитвика, и, наконец, последним действием уменьшает зарплату Снейпа.

Тогда каждый раз новый список зарплат будет приниматься, ведь только у одного профессора зарплата уменьшается, а у остальных двух увеличивается. Спустя три месяца зарплата Дамблдора увеличится в раз, чего он и хотел добиться. Зарплата же каждого из остальных профессоров два раза увеличится в раза, и один раз уменьшится в раз, итого уменьшится в раз, что и требовалось.

Если в каждом пакете меньше конфет, то всего конфет не больше, чем противоречие. Если же в некотором пакете больше конфет, то, перекладывая конфеты из любых двух других пакетов, не удастся получить три пакета по конфет в каждом, снова противоречие.