Рассуждения от противного
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждое натуральное число покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный, причём все 3 цвета встречаются. Может ли оказаться так, что сумма любых двух чисел разных цветов является числом оставшегося цвета?
Источники:
Подсказка 1
Если ответ да, то как доказать, что такое возможно? Привести пример раскраски... Вроде как сходу такую раскраску придумать не получается. Может тогда воспользоваться методом от противного...
Подсказка 2
Пускай такая раскраска существует. Разумно было бы посмотреть на подряд идущие числа: ведь если они разного цвета, то их разность обязана быть покрашена в оставшийся цвет. А их разность это всегда 1
Подсказка 3
Возьмем числа 1 и n такие, что их цвета не совпадают. Тогда числа 1, n и n+1 покрашены в три различных цвета. Может попробовать пойти дальше и посмотреть на n+2? Какой же цвет имеет n+2=1+(n+1)? А n+3=1+(n+2)?
Подсказка 4
Получается, что n+2 имеет цвет числа n, а n+3 имеет цвет числа n+1. Похоже, что мы больше никогда не увидим число, цвет которого совпадает с цветом числа 1:( А может ли быть такое?
Подсказка 5
Такого, конечно же, не может быть: достаточно просто посмотреть на цвет числа 2n+1=n+(n+1)
Пойдём от противного, предположим, что такое возможно. Без ограничения общности можно считать, что число 1 покрашено в красный.
Выберем произвольное число 
покрашенное в синий. Заметим, что тогда 
должно быть зелёного цвета, 
—
синего, 
— зелёного и т.д. Таким образом, все числа, большие 
покрашены в синий или зелёный цвет. С другой
стороны, так как 
покрашен в синий цвет, a 
— в зелёный, то число 
должно быть покрашено в красный цвет,
противоречие. Значит, такое невозможно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
