Планиметрия на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
B прямоугольный треугольник 
вписана окружность 
с центром 
которая касается сторон 
и 
в точках 
и
соответственно. Прямая, проходящая через точку 
пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно. Найдите
радиус окружности 
если 
Найдите 
если дополнительно известно, что прямая 
параллельна
Источники:
Подсказка 1
На рисунке есть очень много прямых углов, давайте их все отметим и попробуем найти какие-то равные отрезочки
Подсказка 2
Так как в четырёхугольнике KILB три прямых угла и две равные смежные стороны, KILB – квадрат! Обозначим его сторону за r (ведь это фактически радиус вписанной окружности), можно ли теперь записать какое-то уравнение, чтобы найти эту неизвестную?
Подсказка 3
Так как KI || BN, △KMI ∼ △BMN, записав отношение их подобия, находим r) Теперь нужно как-то найти АС, сразу в глаза бросаются подобные треугольники АВС и MBN, если мы найдём коэффициент их подобия, то сможем найти АС, ведь MN легко вычислить по теореме Пифагора!
Подсказка 4
Давайте опустим высоты ВН и ВВ₁ треугольников BMN и АВС соответственно, знаем ли мы НВ₁?
Подсказка 5
НВ₁ – это расстояние между прямыми MN и АС, то есть расстояние от точки I до АС, что, разумеется, равно радиусу вписанной окружности! Тогда нам остается посчитать, чему равны ВН, MN и ВВ₁ = ВН + НВ₁, и найти АС через коэффициент подобия)
Пусть радиус окружности Г равен 
Заметим, что 
так как 
касается окружности Г в точке 
Аналогично, 
Также заметим, что 
как
радиусы Г. Получается, в четырехугольнике 
две смежные стороны равны и три угла являются прямыми, откуда этот
четырёхугольник — квадрат, то есть 
Два прямоугольных треугольника 
и 
подобны, так имеют общий угол 
Отсюда
Получается, 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание: Мы пользуемся тем, что точка 
лежит на отрезке 
так как если бы она лежала на 
то прямая 
пересекала бы продолжение стороны 
а не саму сторону, что противоречило бы условию. Аналогично точка 
лежит на
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Таким образом, 
а 
По теореме Пифагора 
Пусть окружность Г касается 
в точке 
Тогда 
и 
Отсюда расстояние между параллельными прямыми
и 
равно 60.
Проведём 
— высоту треугольника 
Пусть 
Из параллельности 
и 
имеем, что 
то есть
— высота треугольника 
Из формул площадей прямоугольного треугольнька можно выразить, что длина высоты — это
произведение катетов делить на гипотенузу, то есть
При этом 
— это какое-то рассояние между параллельными прямыми 
и 
то есть 
а
Прямоугольные треугольники 
и 
подобны, так как 
откуда
Итак, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
