Планиметрия на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Остроугольный треугольник 
вписан в окружность 
с центром О. Окружность, проходящая через точки 
и 
, пересекает
отрезок 
в точке 
. Касательные к 
, проведённые через точки 
и 
, пересекаются в точке 
. Отрезок 
пересекает сторону 
в точке 
. Известно, что площади треугольников 
и 
равны соответственно 
и
.
а) Найдите площадь треугольника 
.
б) Пусть дополнительно известно, что 
. Найдите 
.
Источники:
Пункт а, подсказка 1
Сразу воспользуемся тем, что AT и TC — касательные к ω. Получаем, что углы OCT и OAT - прямые. Что тогда мы можем сказать про окружность, проходящую через A, O, C?
Пункт а, подсказка 2
Да, верно! Эта окружность также проходит через точку T, а отрезок OT является её диаметром. Теперь, чтобы подобраться к точке K, попробуйте посчитать вписанные в данную окружность уголки, обозначив ∠ABC за β.
Пункт а, подсказка 3
Отлично! Мы получили, что ∠TAC = ∠TPC = ∠ABT = ∠ABC = β. Тогда у нас PK || ABC. Значит, треугольники ABC и CPK подобны. Для решения задачи осталось лишь найти коэффициент подобия между ними. Для этого воспользуйтесь последним условием на площади треугольников APK и CPK. Ведь мы знаем, что у них высота из P общая.
Пункт б, подсказка 1
Ещё из пункта а) мы знаем, что ∠APK = ∠KPC и отношение AK к KC. Тогда воспользуемся свойством биссектрисы для PK. А также у нас есть новое условие на β. Раз мы знаем, что tgβ = 7/5, то легко можем найти sin2β или cos2β.
Пункт б, подсказка 2
В треугольнике APC мы знаем cos∠APC = cos2β и отношение AP к PC. Если бы мы знали хоть одну из сторон AP и PC, то мы бы легко нашли AC через теорему косинусов. Попробуйте выразить площадь треугольника APC двумя способами и найти оттуда AP.
Пункт б, подсказка 3
Пользуясь условием на площади треугольников APK и CPK, получаем, что площадь APC равна 10. С другой стороны, эта же величина равна sin∠APC*AP*PC/2. Осталось лишь всё выразить и досчитать.
a) Так как прямые 
и 
- касательные к 
, они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, и
. Отсюда следует, что точки 
и 
лежат на окружности с диаметром 
(назовём эту окружность 
). На этой
же окружности лежит точка 
, поскольку она лежит на окружности, проходящей через точки 
. Обозначим 
. Тогда по
свойству угла между хордой и касательной получаем, что 
. Далее, 
(углы, вписанные в окружность 
).
Из того, что 
, следует, что 
.
Так как у треугольников 
и 
общая высота, проведённая из вершины 
, их площади относятся как основания, т.е.
. Треугольники 
и 
подобны, поскольку 
, и коэффициент подобия 
равен
. Но тогда 
б) Поскольку 
острый, то 
(центральный угол вдвое больше вписанного), 
(вписанные в 
углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, 
биссектриса треугольника 
(также можно заметить, что
, как вписанные и как угол между касательной и хордой соответственно). Биссектриса треугольника делит
противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, поэтому 
. Пусть 
; тогда
Из дополнительного условия 
. Следовательно,
Площадь треугольника 
равна 
, откуда получаем 
, 
. По теореме
косинусов из треугольника 
находим, что 
, откуда
окончательно получаем 
.
Решён пункт а) – 4 балла;
частичные продвижения за пункт а):
доказано, что 𝑃𝐾 ‖ 𝐴𝐵 – 2 балла;
доказано, что четырёхугольник 𝐴𝑂𝐶𝑇 вписанный – 1 балл (не суммируется с вышеуказанными 2 баллами).
Решён пункт б) – 3 балла;
частичные продвижения за пункт б):
доказано, что 𝑃𝐾 – биссектриса треугольника 𝐴𝑃 𝐶 – 1 балл.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
