Многочлены на Высшей пробе

Первое решение.

Обозначим корни через и Воспользуемся теоремой Виета, тогда задача переформулируется так: известно, что и найти .

Для начала заметим, что поскольку в противном случае одно из равно нулю, тогда влечет, что и второе равно нулю, что противоречит

Выполним следующие преобразования:

Поскольку имеем

(1)

С другой стороны

Отсюда

Второе решение.

Так же как и в первом решении доказываем равенство Далее вместо последнего шага сделаем следующее. Заметим, что если — действительные корни, то одновременное выполнение и невозможно из-за монотонности куба.

Если не действительные, то они сопряжены, тогда их кубы — тоже. Если сумма двух сопряжённых чисел равна нулю, то их аргументы имеют вид то есть до возведения в куб аргумент имел вид или эквивалентно где Обозначив аргумент через имеем для трёх случаев соответственно:

В первом случае в других невозможно, поскольку аргумент — неотрицательное число.

Получаем