Многочлены на Высшей пробе
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов 
с целыми коэффициентами, что 
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте проанализировать условие f(f(1000)) = 0.
Подсказка 2
Пусть a = f(1000). Что о нем можно сказать?
Подсказка 3
a — это корень многочлена f(x). Обозначьте второй корень за b.
Подсказка 4
Тогда f(x) = (x - a)(x - b). Попробуйте найти p.
Подсказка 5
p = -(a + b). Что можно сказать о b?
Подсказка 6
Так как a и p — целые, то и b — целое.
Подсказка 7
Попробуйте расписать a через равенство f(1000).
Подсказка 8
а = (1000 - a)(1000 - b). Чему тогда равно b?
Подсказка 9
b = 1000 - a/(1000 - a).
Подсказка 10
Поскольку b — целое, то и разность 1000 - a/(1000 - a) должна быть целой.
Подсказка 11
Попробуйте воспользоваться сравнением по модулю.
Пусть 
из условия следует, что 
— корень многочлена 
Обозначим, второй корень за 
тогда верно
Заметим, что 
при этом 
и 
— целые, тогда и 
— целое.
С другой стороны, распишем число 
Число 
целое тогда и только тогда, когда 
— целое. Таким образом задача свелась к такой: сколько существует целых 
таких
что 
— целое.
Посчитаем число таких 
Хотим 
кратно 
Заметим, что 
поэтому 
делится на 
Откуда следует, что 
— целый делитель 
Число целых делителей 
равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
