Многочлены на Высшей пробе

Оценка.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. В Гришиной сумме могут быть учтены те и только те числа , в которых производная функции обращается в ноль, причем каждое такое может быть посчитано максимум для одного .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство. Как известно, число является кратным корнем многочлена если и только если является корнем многочлена и его производной . Пусть — кратный корень , имеем левую из систем:

Первая равносильность заслуживает пояснений: из уравнения если что и то невозможно поскольку многочлены взаимно-просты. Если же то деление на него является равносильным переходом, а однозначно находится из (*). Второй переход: просто поделили на Осталось заметить, что это в точности производная

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Итак, мы получили что все числа, посчитанные в гришиной сумме, это корни многочлена который имеет не более чем степень (при взятии производной степень многочлена уменьшается на единицу, при перемножении многочленов - складывается, при вычитании не увеличивается), покажем что не может быть тождественно нулем (на самом деле покажем, что степень ровно ). Пусть и — старшие (а значит, ненулевые) коэффициенты многочленов и соответственно. Тогда коэффициент при есть Таким образом, мы доказали оценку сверху: сумма не может быть больше

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример.

Возьмём и такими, что все их корни вещественны, различны и все корни лежат левее всех корней Тогда есть отрезков между соседними корнями на каждом из этих отрезков функция непрерывна (все корни знаменателя правее), равна нулю в концах отрезка и не равна нулю в остальных точках, значит в какой-то точке производная принимает нулевое значение по теореме Ролля — нашли нулей производной. Теперь посмотрим на интервалы между соседними корнями и также на открытый луч от самого правого из них до плюс бесконечности. На каждом интервале функция непрерывна, не меняет знак (поскольку не принимает нулевого значения — все корни числителя лежат левее), в концах интервалов стремиться к бесконечности (поскольку это корни числителя), при аналогично стремится к бесконечности, поскольку степень числителя больше степени знаменателя. Значит, на каждом из промежутков модуль достигает минимума во внутренней точке, там производная обращается в ноль (альтернативно можно воспользоваться теоремой Ролля для функции ) — нашли еще нулей производной.