Планиметрия на Высшей пробе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан выпуклый многогранник. Разделим длину каждого ребра на сумму длин остальных ребер и вычислим сумму полученных дробей.
Докажите, что полученная сумма меньше 
Источники:
Подсказка 1
В плоскости мы умеем давать оценки на какие-то суммы длин. Но сейчас мы работаем в пространстве, значит, нужно найти плоскости!
Подсказка 2
Рассмотрите многоугольники, в которые входит конкретное ребро. Какие оценки на длину этого ребра можно в них сделать?
Подсказка 3
Воспользуйтесь неравенством многоугольника для каждого ребра!
Подсказка 4
Для каждого ребра имеется как минимум два непересекающихся набора других рёбер, длины которых в сумме больше, чем длина этого ребра. Тогда можно сделать оценку на длину каждого ребра многогранника!
Подсказка 5
Длина ребра многогранника всегда меньше, чем L/3, где L — сумма длин рёбер многогранника.
Обозначим за 
длины ребер многогранника, а за 
— сумму длин всех ребер многогранника. Каждое ребро многогранника
входит в две грани, которые являются многоугольниками. Отсюда следует, что для каждого ребра имеется как минимум два
непересекающихся набора других ребер, длины которых в сумме больше, чем длина этого ребра (по неравенству многоугольника). Это
значит, что длина каждого ребра многогранника всегда меньше, чем 
а значит, сумма длин всех ребер, кроме одного, всегда больше,
чем 
Теперь запишем сумму дробей из условия и заменим в каждой дроби знаменатель на 
— от этого сумма строго увеличится,
но станет равной
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
