Планиметрия на Высшей пробе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан шестиугольник 
в котором 
Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
Вспомним условие на сумму углов в n-угольнике. Чем нам это может помочь? Для каких углов получается выразить величины?
Подсказка 2
Обратим внимание на четырёхугольник, образованный точками A, B, D, E. Какие свойства есть у вписанного четырёхугольника? Что ещё можно сказать про этот четырёхугольник?
Подсказка 3
Попробуем применить симметрию относительно середины отрезков BD и AE – какие новые точки и фигуры при этом получаются?
Подсказка 4
Рассмотрим полученные после отражения точки и параллелограммы. Какие стороны оказываются параллельны, а какие равны по длине? Можно ли использовать равенство углов и расстояний до прямой, чтобы сделать вывод о равенстве боковых сторон и параллельности оснований новой фигуры?
Подсказка 5
Вспомним, что средняя линия трапеции меньше её диагонали. Как это поможет доказать, что равенство возможно только в вырожденном случае?
Так как сумма любого 
-угольника равна 
то сумма углов любого шестиугольника, не обязательно выпуклого, равна 
Поэтому из условия 
следует, что 
что, в свою очередь, влечет равенство треугольников
и 
по двум сторонам и углу между ними. Так как углы 
и 
равны, а 
четырехугольник 
— вписанный. Хорды 
и 
его описанной окружности равны, поэтому 
является равнобокой
трапецией.
Пусть, без ограничения общности, 
Отразим точки 
и 
относительно середин 
и 
отрезков 
и 
соответственно, получим точки 
и 
Параллелограммы 
и 
равны, поэтому
Отсюда делаем вывод, что 
Расстояние от точки 
до прямой 
равно 
что равно
расстоянию от точки 
до прямой 
На то же расстояние удалены точки 
и 
от прямой 
поэтому четырехугольник
является равнобокой трапецией с основаниями 
и 
параллельными прямой 
(и, соответственно, 
и 
).
Кроме того, отрезок 
является общей средней линией для трапеций 
и 
и его длина равна 
Но в
отрезок 
является диагональю, которая всегда длиннее, чем средняя линия, если трапеция невырождена.
Равенство 
возможно только если 
и 
обе попали на прямую 
и 
является вырожденной
трапецией.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
