Планиметрия на Высшей пробе

Заметим, что если доказать обратную теорему Чевы для треугольника (то есть равенство то мы получим требуемое. Обозначим параллельные прямые через и

Давайте проведём прямую перпендикулярную прямым и спроецируем ортогонально точки на неё. Нам это выгодно, потому что отношение, в которых делит точка отрезок при проектировании, как известно, сохраняется (это просто теорема Фалеса). Точки и перейдут в и

Введём декартову систему координат таким образом, что прямая — ось а прямая — ось Обозначим ординату через а ординату через Точка при проецировании переходит в точку точка — в точку точка — в точку

Как мы знаем, отношения при проектировании сохраняются, а значит, нам достаточно доказать, что

Нетрудно видеть, что длина любого отрезка из равенства равна модулю разности ординат его концов, поэтому его можно записать в таком виде:

Теперь видно, что всё сокращается, а значит, мы получили требуемое.