Планиметрия на Высшей пробе

Введём обозначения для длин сторон:

Сделаем инверсию с центром и радиусом с симметрией относительно биссектрисы угла

Середины сторон прямоугольного треугольника и вершина его прямого угла образуют прямоугольник, значит, все четыре на одной окружности. Значит, при инверсии образ окружности — прямая. Легко посчитать, что эта прямая отсекает от лучей и отрезки длины и соответственно, то есть симметрична относительно биссектрисы угла Поэтому гипотенуза и окружность Эйлера треугольника переходят друг в друга.

Касательная из к вписанной окружности равна её радиусу а касательная из к вневписанной окружности равна полупериметру Таким образом, их произведение — площади треугольника Итак, Поэтому вписанная и вневписанная окружности треугольника переходят друг в друга.

Следовательно, переходит в а переходит в Угол переходит в угол значит, они равны.