Планиметрия на Высшей пробе

Первое решение.

Из вписанности четырехугольника следует, . Треугольник является равнобедренным, а значит, , следовательно, .

Из равнобедренности треугольника следует, что .

Наконец, в силу вписанности четырехугольника

Из этого равенства углов получаем, что вписанный четырёхугольник является равнобедренной трапецией либо прямоугольником. В любом случае то есть

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Докажем, что хорды и стягивают равные дуги в окружности , то есть докажем равенство

Для начала, по теореме о внешнем угле А поскольку треугольник является равнобедренным, то Кроме того, из вписанности четырехугольника следует . Таким образом,

Аналогично

Наконец, искомое равенство углов можно переписать в виде

что верно, так как суммой углов в каждой части равна углу между диагоналями четырехугольника.