Планиметрия на Высшей пробе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Внутри выпуклого четырёхугольника 
расположены четыре окружности одного радиуса так, что они имеют общую точку и каждая
из них вписана в один из углов четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник 
вписанный.
Источники:
Подсказка 1
Хорошей подсказкой в этой задаче будет обозначить точки. Например, общая точка окружностей — О, центры окружностей в углах A, B, C, D — A₁, B₁, C₁, D₁ соответственно.
Подсказка 2
Как же можно воспользоваться тем, что окружности равного радиуса?
Подсказка 3
Именно, OA₁= OB₁ = OC₁ = OD₁, то есть A₁B₁C₁D₁ - вписанный. Теперь заметим, что для окружностей в углах B и C: В₁С₁-линия центров, BC — общая касательная. Но окружности равные. Что отсюда следует?
Подсказка 4
То, что BC || B₁C₁. Аналогично, A₁D₁ || AD, A₁B₁ || AB, C1₁D₁ || CD. Тогда осталось сделать очевидное замечание.
Подсказка 5
Именно, так как у углов DAC и D₁A₁C₁ попарно параллельные стороны, они равны. Остался последний шаг!
Обозначим точку пересечения окружностей через 
, центры окружностей обозначим 
. Поскольку все четыре окружности
имеют равный радиус, 
.
Таким образом, 
является центром окружности, описанной вокруг 
. Значит, сумма противоположных углов в
четырёхугольнике 
равна 
.
Прямая 
является общей касательной к паре пересекающихся окружностей равного радиуса с центрами в 
и 
, поэтому
. Аналогично параллельны остальные соответвующие пары сторон. Значит, в четырёхугольнике 
суммы противоположных
углов также равны 
, так что он также является вписанным.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
