Комбинаторика на Высшей пробе: клетки, комбигео, игры, графы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны 
подмножеств 
-элементного множества: 
Обозначим через 
число элементов множества 
Докажите
неравенство
в котором индексы 
пробегают все значения от 
до 
то есть в сумме всего 
слагаемых.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте рассмотреть произвольный элемент исходного множества и подумайте, как будет меняться сумма в зависимости от того, сколько раз он входит в каждое подмножество.
Подсказка 2
Подумайте, как связаны сумма количеств элементов во всех подмножествах и сумма вхождений каждого элемента в каждое подмножество.
Подсказка 3
Попробуйте преобразовать видоизмененное исходное неравенство к чему-то более удобному. Может быть будет полезно вспомнить неравенство о средних?
Сумма в левой части описывает количество элементов в пересечениях троек множеств. Можно задаться вопросом: в какое количество пересечений троек входит каждый элемент? Посчитаем и ответим на этот вопрос!
Пусть 
й элемент исходного 
элементного множества входит в 
подмножеств 
Тогда он входит ровно в 
пересечений троек. Тогда
Заметим, что 
так как обе суммы подсчитывают двумя способами одну и ту же величину:
количество пар (множество; элемент множества). Таким образом, задача свелась к доказательству неравенства
А это неравенство эквивалентно неравенству между средним арифметическим и средним кубическим!
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
