Комбинаторика на Высшей пробе: клетки, комбигео, игры, графы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве даны 
точек, таких что в проекциях на координатные плоскости никакие три точки не лежат на одной прямой. Могло ли
оказаться так, что каждая точка ровно в одной из этих проекций лежит внутри выпуклой оболочки остальных? (Мы говорим, что точка
лежит внутри выпуклой оболочки других точек, если она лежит внутри треугольника с вершинами в некоторых трёх из этих
точек.)
Источники:
Подсказка 1
Можно ли с ходу так сказать, какой ответ? Вроде почему бы и нет? Хотя как тогда строить пример. Подгонять числа? А может как-то по-умному это сделать?. Фу-фу-фу думать так в самом начале.
Подсказка 2
Если мы хотим, доказывать, что какая-то точка всегда попадает хотя бы два раза в выпуклую оболочку. Нууу, так себе. А вот факт про то, что какая-то точка всегда будет составлять оболочку, а не находиться внутри, звучит лучше.
Подсказка 3
То есть мы хотим найти такую точку, которая при проекциях будет "крайней". Ну, рассуждать про координаты точки в целом сложно. Попробуем разобраться сначала с x, потом с y, потом с z.
Подсказка 4
Ключевая идея: если мы докажем, что есть точка, у которой координата по x и по y не меньше, чем у остальных (если она положительна) и не больше, чем у остальных (если отрицательна), то при проекции на все плоскости, она точно не будет внутри оболочки (этот факт докажите самостоятельно). Такую точку будем называть x-крайней и y-крайней. (Аналогично для других пар)
Подсказка 5
Заметим, что вдоль каждой оси, ровно две точки, которые удовлетворяют критериям "крайней" точки!
У нас есть 
координаты. По каждой координате можно выбрать точку, у которой эта координата максимальная и точку, у
которой эта координата минимальная. Таким образом, мы 
раз выбираем какую-то точку. Значит какую-то точку мы
выберем 
раза. Не умаляя общности, пусть у этой точки максимальная координата 
и 
. Тогда при любой проекции
какая-то координата у нее будет оставаться максимальной, поэтому она не может лежать в какой-то выпуклой оболочки при
проекции.
нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
