Комбинаторика на Высшей пробе: клетки, комбигео, игры, графы

Предположим, что на поле можно разместить фигуры при , тогда можно разместить и при . Разобьём поле на 16 квадратов , тогда ровно в 12 из них будут стоять по 1 королю («к»), а в 4 других - 12 коней-лошадей («л») и 1 мяч, т.е. 13 фигур, значит, пустых квадратов быть не должно. Соответственно, квадраты будем называть к-квадраты и л-квадраты. Заметим, что если хотя бы в одном из л-квадратов две «л» стоят у общей стороны с другим квадратом, то этот соседний квадрат не будет содержать «к», значит, он должен быть л-квадратом, но тогда в сумме в этих двух квадратах разместится не более 4 фигур, т.к. клетки прямоугольника разбиваются на пары в виде хода «л», а во всех 4 л-квадратах разместится не более фигур, а должно быть 13. Кроме того, не существует л-квадратов с 4 «л» (аналогичные рассуждения). Значит, в каждом л-квадрате будет ровно 3 «л» и никакие 2 «л» не могут стоять парой у общей стороны с другим квадратом, следовательно, такие л-квадраты находятся в углах поля и 3 «л» стоят с краю всего поля, причём в одном из них ещё стоит и мяч.

Тогда из двух выделенных на поле квадратов хотя бы один должен оказаться пустым противоречие. Значит, .

Для уже можно построить пример. Отметим слоном мяч и поставим королей и коней.