Комбинаторика на Высшей пробе: клетки, комбигео, игры, графы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном тетраэдре с ребром, равным 
отмечены 
различных точек: 
вершины и 
произвольная точка внутри тетраэдра.
Никакие 
отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем
которого меньше единицы.
Источники:
Подсказка 1:
Так... В условии дано ребро тетраэдра и что-то сказано про объём. Так давайте найдём объём исходного тетраэдра! Как, зная объём, можно доказать требуемое?
Подсказка 2:
На сколько фигур надо разбить исходный тетраэдр, чтобы объём одной из них был точно меньше 1?
Подсказка 3:
Да! Поскольку 128√2/3 < 61, то достаточно разбить и на 61 фигуру, но в условии дано, что никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. В дальнейшем наверняка будет удобно будет пользоваться делимостью на 4. Давайте докажем, что тетраэдр можно разбить на 64 маленьких. Каким методом проще всего доказать это утверждение?
Подсказка 4:
Воспользуемся индукцией по количеству отмеченных точке внутри исходного тетраэдра. Пусть k — количество точек внутри тетраэдра. Покажем, что исходный тетраэдр можно разбить на 3k + 1 с вершинами в отмеченных точках. База очевидна. При переходе k → k+1 посмотрите, куда падает добавленная точка. Как это позволяет точно добавить новые 4 тетраэдра?
Подсказка 5:
Добавленная точка попадёт внутрь какого-то уже имеющегося тетраэдра. Соединив эту точку со всеми вершинами тетраэдра, внутри которого она лежит, получим новые 4 тетраэдра!
Объем тетраэдра с ребром 8 есть 
поскольку этот тетраэдр получается если взять не соединенные ребром вершины куба с ребром
Заметим, что 
значит если удастся тетраэдр разрезать на 64 тетраэдра с вершинами в отмеченных точках, то один из
тетраэдров разбиения будет иметь объем меньше 
Докажем, что если внутри тетраэдра выбраны 
точек, так что если добавить к ним 
вершины тетраэдра, то среди полученных 
точек никакие 
не лежат в одной плоскости, тогда тетраэдр можно разрезать на 
тетраэдр с вершинами в выбранных
точках.
Индукция по 
При 
считаем что тетраэдр разбит на один тетраэдр — самого себя. Пусть для 
доказано, докажем для 
Возьмем любые 
из внутренних точек, по предположению индукции разобьем тетраэдр. Теперь добавим последнюю точку,
и посмотрим, внутрь какого тетраэдра разбиения она попала. Этот тетраэдр разобьем на четыре, каждый из которых
образован новой точкой и гранью разбиваемого тетраэдра. Разбитый тетраэдр заменим в разбиении четырьмя новыми, число
тетраэдров в разбиении выросло на 
(
добавили 
убрали). Итак, при 
имеем разбиение на 
тетраэдра, что и
требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
