Комбинаторика на Высшей пробе: клетки, комбигео, игры, графы

Объем тетраэдра с ребром 8 есть поскольку этот тетраэдр получается если взять не соединенные ребром вершины куба с ребром Заметим, что значит если удастся тетраэдр разрезать на 64 тетраэдра с вершинами в отмеченных точках, то один из тетраэдров разбиения будет иметь объем меньше

Докажем, что если внутри тетраэдра выбраны точек, так что если добавить к ним вершины тетраэдра, то среди полученных точек никакие не лежат в одной плоскости, тогда тетраэдр можно разрезать на тетраэдр с вершинами в выбранных точках.

Индукция по При считаем что тетраэдр разбит на один тетраэдр — самого себя. Пусть для доказано, докажем для Возьмем любые из внутренних точек, по предположению индукции разобьем тетраэдр. Теперь добавим последнюю точку, и посмотрим, внутрь какого тетраэдра разбиения она попала. Этот тетраэдр разобьем на четыре, каждый из которых образован новой точкой и гранью разбиваемого тетраэдра. Разбитый тетраэдр заменим в разбиении четырьмя новыми, число тетраэдров в разбиении выросло на ( добавили убрали). Итак, при имеем разбиение на тетраэдра, что и требовалось.