Комбинаторика на Высшей пробе: клетки, комбигео, игры, графы

Пусть — центр окружности (и описанной окружности треугольника соответственно). Прямые , и разделят плоскость на 6 частей, которые назовем областями. Пусть эти прямые пересекают окружность в точках и соответственно ( и на одном луче от — на другом, для других точек аналогично). Тогда стороны угла являются серединными перпендикулярами к отрезкам и , а значит, для всех точкек угла (равного ) и только для них является ближайшей из . При этом для точек, которые лежат внутри угла , но вне круга , после операции вершина становится ближайшей, а внутри угла — вершина . Для вершин и аналогично.

Рассмотрим, что происходит при применении нескольких операций к точке . Пусть образ точки , после применения к ней k операций. Докажем следующие утверждения:

Если лежит в , то все при — тоже. Так что теперь можем без ограничения общности считать, что лежит в угле и вне круга .

Вектор равен удвоенному вектору , так как для ближайшая вершина , для , композиция симметрий относительно потом — параллельный перенос на вектор .

Соответственно, если все точки лежат в но не в , то все вектора равны .

Пусть — первая из четных точек, не лежащая одновременно в угле и вне круга . Тогда лежит в одной из трех областей: и .

Итак, без ограничения общности можно считать, что попала в .

Итак, если точка когда-то за две операции перескочит из угла в соседний, то дальше за каждую пару операций точка перепрыгивает между ровно этими двумя соседними углами, пока не попадет в круг . Докажем, что это рано или поздно произойдет. В самом деле, пусть точка за двойную операцию переходит между и . Тогда она за каждую двойную операцию смещается на вектор или . Оба вектора имеют проекцию на луч , значит рано или поздно проекция точки на будет иметь отрицательную координату, то есть точка покинет углы и .

Сделать это четная точка может только попав в поскольку если — первая из четных точек, попавшая в , то попадет в или попадет в или и так далее (за каждые два хода точка перескакивает через границу между теми же двумя соседними углами, или запрыгивает в ).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Как доказано выше, каждому из шести углов, на которые разделена плоскость, сопоставлен свой вектор , такой что квадрат операции для точки, лежащей в данном угле, есть перенос на соответствующий вектор. Тогда множество точек, попадающих в круг не более чем за 1010 операций - это множество кругов, получаемых из круга при параллельных переносах на всевозможные линейные комбинации векторов с целыми неотрицательными коэффициентами, сумма которых не больше 1010 , и только два циклически соседних коэффициента отличны от нуля. Тогда самый близкий к граничный круг (обозначим его а его центр - представляющийся в виде , то есть . Заметим, что для только его дуга размером , отвернутая от , не покрыта остальными кругами, итого самая ближняя к граничная точка такова что , то есть .

По аналогичным соображениям, точки переходящие в за 2021 ход - образы кругов радиуса 1 с центрами в точках при переносах на ту же систему векторов. Тогда самый далекий от круг (обозначим его а его центр )получается при переносе на вектор , то есть имеющий длину . Поскольку образует угол в с имеем . Точка на границе круга еще на 1 дальше, итого ответ .