Алгебраические текстовые задачи на Высшей пробе

Подсказка 1

Обозначим данные k чисел за x₁, x₂, ... , x_k. Давайте, например, поймем, что нам дает условие на модуль.

Подсказка 2

Можно без ограничения общности считать, что сумма чисел у нас положительная. Хорошо, нас просят выбрать несколько чисел, а какие это могут быть числа? Важен ли нам их порядок?

Подсказка 3

Нам ведь могут от примера к примеру мешать числа, как угодно, давайте тогда для удобства рассматривать подряд идущие. Как можно переформулировать условие задачи? Какие числа мы ищем?

Подсказка 5

У нас n - натуральное, давайте рассмотрим наименьшие индексы m_1, m_2, ... , m_99, такие, что x₁ + x₂ + ... + xₘ_₁ ≥ S/100, x₁ + x₂ + ... + xₘ_₂ ≥ 2*S/100 и так далее. Как они могут нам помочь в оценке? Может, нам чего-то еще не хватает? Вспомните, что мы хотим доказать.

Подсказка 6

Доопределим разность суммы каждой последовательности и соответствующей ей оценки: aᵢ = x₁ + x₂ + ... + xᵢ - i*S/100. Кстати, все ли они определены? А можем ли мы как-то оценить величину каждой aᵢ?

Подсказка 7

mᵢ и aᵢ определены, так как по крайней мере для k при любом i выполняется x₁ + x₂ + ... + x_k = S ≥ i*S/100. Давайте формально доопределим m₀ = 0 и a₀ = 0. Выбранные нами индексы были первыми для своего условия, а также все xᵢ по модулю не превосходят 1, следовательно, значения aᵢ лежат в отрезке [0;1]. А можем ли мы сжать этот отрезок для удобства и попробовать оценить разницу между какими-нибудь aᵢ и aⱼ, где i ≠ j? Какое неравенство мы хотим получить по условию задачи?

Подсказка 8

Преобразуйте неравенство и подумайте, какое n можно взять, чтобы получившаяся последовательность была искомой.

Подсказка 9

Несколько ранее мы предположили, что отрезок величин aᵢ можно сжать для получения искомой оценки, а если для некоторого i a_i попадает в отрезанный кусок? Какое множество чисел может быть искомым?

Подсказка 10

Подумайте, как доказать, что в таком случае набор чисел x₁, x₂, ... , x_(m_i-1) нам подойдет.